Vamos a definir proporcionalidad.
La proporcionalidad es una relación o razón constante entre diferentes magnitudes que se van a medir.
Veamos el siguiente ejemplo:
Estamos en el mercado y nos están pesando 4 naranjas, pero queremos llevar 10, entonces le damos al vendedor 6 naranjas más. Vemos en la balanza el peso definitivo de las 10 naranjas.
PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA
El uso de las proporciones es cotidiano y nos permite resolver situaciones sencillas por medio de la Regla de tres simple, en la cual se conocen tres términos y se debe hallar el cuarto.
¿Cómo se plantea y se resuelve un problema utilizando una Regla de tres simple?
Problema 1: Si 4 naranjas tienen pesan 250 gr ¿Cuánto pesarán 10 naranjas?
Analicemos el tipo de proporción: 4 naranjas tienen un peso determinado, entonces 10 naranjas pesarán más, 15 naranjas tendrán mayor peso que 10 y que 4 naranjas; mientras que 2 naranjas tendrán un costo menor que 4 naranjas. Así vemos que a medida que aumenta el nº de naranjas (+) aumenta el peso (+). Por el contrario, si disminuye el nº de naranjas (-) será menor el peso (-).
Podemos concluir que la relación entre estas dos magnitudes (nº de naranjas y peso) es DIRECTA (+ +) (- -)
Planteamos la igualdad proporcional y como toda igualdad presenta:
I Miembro = II Miembro
4 / 250 = 10 / x
Tenemos entonces una ecuación de primer grado en la que sólo desconocemos un valor. Vamos a resolverla:
4 . x = 10 . 250
4x = 2500
x = 2500 / 4
x = 625 gr
Respuesta: 10 naranjas pesan 625 gr
También podemos resolverlo con una regla de tres simple:
nº de naranjas peso gr
4 ------ 250
10 ------ x
x = 10 . 250 / 4 (Se multiplican los términos que se ven en forma diagonal y el
producto se divide entre el que está, diagonalmente, frente a la incógnita x)
Tendremos entonces que:
x = 2500 / 4
Por lo tanto:
x = 625 gr
La respuesta al problema es: 10 naranjas pesan 625 gr.
Queda claro que este tipo de problema podemos resolverlo por medio de una ecuación de primer grado planteada a partir de la igualdad proporcional o de una regla de tres simple.
Ya tenemos clara la forma de calcular la incógnita en una proporción directa, estudiaremos ahora cómo calcular la incógnita en una proporción inversa.
Problema 2: Cinco estudiantes están elaborando una cartelera muy grande y necesitarían 12 horas para hacerla; pero sólo tienen 3 horas para cumplir con el compromiso. Los 5 estudiantes deciden llamar a varios compañeros para trabajar juntos en la cartelera y poder terminarla en el tiempo exigido ¿Cuántos estudiantes podrán hacer la cartelera en 3 horas?
Analicemos el tipo de proporción: 5 estudiantes harían la cartelera en 12 horas, para hacerla en menos (-) tiempo se necesitarán más (+) estudiantes ya que a (+) estudiantes trabajando en la cartelera menos (-) tiempo se necesitará para completarla.
Podemos concluir que la relación entre estas dos magnitudes nº de estudiantes y tiempo es INVERSA (+ +) (- -)
Cuando vemos que la relación proporcional entre dos magnitudes es inversa debemos invertir la fracción de uno de los dos miembros de la igualdad proporcional.
Planteamos la proporcionalidad que no es más que una igualdad:
I Miembro = II Miembro
5 / 12 = x / 3
Vamos a invertir una de las fracciones. Elegimos la que no tiene a la incógnita para evitar que nos quede en el denominador. En los casos donde la incógnita está en el denominador de una de las fracciones de la igualdad proporcional, procederemos a invertir esa fracción para colocar a la incógnita en el numerador y trabajar con mayor comodidad.
I Miembro = II Miembro
5 / 12 = x / 3 (Relación directa)
12 / 5 = x / 3 (Relación indirecta. Se invirtió la fracción del I Miembro)
Despejando la incógnita tendremos:
12 . 3 / 5 = x
7,2 = x
Aproximando x = 7
Se necesitan 7 estudiantes para realizar la cartelera en 3 horas, por lo tanto los 5 estudiantes sólo necesitarán la colaboración de 2 estudiantes más.
Planteando una regla de tres simple y tomando en cuenta la igualdad de proporción indirecta en la que una de las fracciones fue invertida:
Tendremos:
12 / 5 = x / 3 (Relación indirecta. Se invirtió la fracción del I Miembro)
nº de estudiantes ----- tiempo (h)
12 ----- 5
x ----- 3
Despejando la incógnita tendremos:
12 . 3 / 5 = x
7,2 = x
Aproximando x = 7
Evidentemente el resultado es el mismo: Para hacer la cartelera en 3 horas se necesita que 7 estudiantes la elaboren.
Puedes resolver los problemas de proporcionalidad usando cualquiera de los dos planteamientos, lo importante para el cálculo es que hayas determinado correctamente qué tipo de proporción (directa o inversa) se establece entre las magnitudes que se miden.
Continuaremos con unos videos que te serán de mucha ayuda.
1. Resuelve los siguientes problemas:
A.
C.
D. Un estudio en una constructora determinó que una cuadrilla de 7 obreros construye una pared en 14 días ¿En cuántos días la construirían 15 obreros?
2. Plantea un problema y resuélvelo basándote en la imagen que se te muestra
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